Relasi dalam Matematika Diskrit: Hubungan Antar Elemen yang Sederhana

1. Pengertian Relasi

Bayangkan relasi seperti hubungan pertemanan di media sosial.
Kamu punya daftar teman (himpunan A) dan daftar orang yang kamu ikuti (himpunan B).
Relasi menggambarkan “siapa mengikuti siapa” — tidak semua orang saling mengikuti, hanya yang memenuhi aturan tertentu.

Definisi Formal

Dalam matematika diskrit, relasi biner R antara dua himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari hasil kali Kartesius A × B.

R ⊆ A × B

Artinya, relasi terdiri dari pasangan berurutan (a, b) yang menunjukkan bahwa elemen a dari A berhubungan dengan elemen b dari B.

Notasi

• (a, b) ∈ R atau a R b → berarti a berhubungan dengan b.

• (a, b) ∉ R atau a R̅ b → berarti a tidak berhubungan dengan b.

2. Analogi Sederhana

Bayangkan relasi seperti menu di restoran:

• Himpunan A = {pelanggan}

• Himpunan B = {menu}

• Relasi R = “memesan menu X”

Tidak semua pelanggan memesan semua menu, hanya yang mereka pilih.
Dari sini kita bisa menentukan:

• Domain (daerah asal) = pelanggan yang memesan sesuatu

• Range (daerah hasil) = menu yang dipesan setidaknya oleh satu pelanggan

3. Contoh Relasi Biner

Contoh 1 — Mahasiswa dan Mata Kuliah

A = {Amir, Budi, Cecep}
B = {IF221, IF251, IF342, IF323}

Relasi R: “mengambil mata kuliah semester ganjil”

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323)}

Artinya:

• Amir mengambil IF251 dan IF323

• Budi mengambil IF221 dan IF251

• Cecep mengambil IF323

Domain: {Amir, Budi, Cecep}
Range: {IF221, IF251, IF323}

Contoh 2 — Relasi Pembagi

P = {2, 3, 4}
Q = {2, 4, 8, 9, 15}

Relasi R: “p habis membagi q”

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (4,4), (4,8), (3,9), (3,15)}

Analogi: seperti pohon keluarga — 2 “membagi” 4 seperti orang tua membagi warisan secara merata kepada anak-anaknya.

4. Relasi pada Satu Himpunan (R ⊆ A × A)

Kadang, relasi terjadi dalam satu himpunan saja.

Contoh:
A = {2, 3, 4, 8, 9}
R = “x adalah faktor prima dari y”

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Analogi: seperti ranking di game — setiap pemain bisa dibandingkan dengan pemain lain, termasuk dirinya sendiri (level sama).

5. Cara Merepresentasikan Relasi

Ada beberapa cara untuk menampilkan relasi agar mudah dipahami:

1. Diagram Panah
   Dua kelompok (A dan B), panah menunjukkan hubungan antar elemen.
   → Seperti peta koneksi WiFi dari perangkat (A) ke sinyal (B).

2. Tabel
   Kolom pertama berisi elemen A, kolom kedua elemen B.
   → Mirip daftar absen siapa mengambil mata kuliah apa.

3. Matriks 0/1

   • Baris = elemen A

   • Kolom = elemen B

   • Isi 1 jika ada hubungan, 0 jika tidak.
     → Seperti lembar spreadsheet yang menandai koneksi antar data.

4. Graf Berarah (Digraf)
   Titik = elemen, panah = hubungan.
   Loop (panah ke diri sendiri) menunjukkan hubungan seperti “selfie”.

6. Sifat Dasar Relasi: Refleksif

Relasi dikatakan refleksif jika setiap elemen berhubungan dengan dirinya sendiri:

Untuk setiap a ∈ A, berlaku (a, a) ∈ R

Analogi: setiap orang berteman dengan dirinya sendiri di cermin.
Jika ada satu elemen tanpa pasangan (a, a), maka relasi tidak refleksif.

Contoh refleksif:
Relasi “=” pada bilangan. Setiap angka sama dengan dirinya sendiri, misalnya 5 = 5.

7. Kesimpulan

Relasi adalah cara formal untuk menggambarkan hubungan antar elemen himpunan.
Mulai dari hal sederhana seperti “mahasiswa mengambil mata kuliah”, relasi menjadi dasar bagi konsep penting seperti fungsi, kesetaraan, dan pengurutan.

Dengan analogi pertemanan, menu restoran, atau ranking game, kita bisa memahami bahwa relasi adalah fondasi penting matematika diskrit yang juga digunakan dalam dunia nyata, seperti:

• Jaringan komputer

• Basis data

• Analisis algoritma